Question

1．如圖，等邊三角形PAB所在的平面與平行四邊形ABCD所在的平面垂直，E是線段BC中點，∠ABC=60°，BC=2AB=2．
（Ⅰ）在線段PA上確定一點F，使得EF∥平面PCD，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點M，連FM，CM，推導出四邊形EFMC是平行四邊形，從而EF∥CM，進而EF∥平面PCD，由此得到在線段PA存在中點F，使得EF∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中點O，連OE并延長交DC延長線于Q，則PO⊥AB，推導出∠BAC=90°，DQ⊥OQ，PO⊥AB，從而PO⊥平面ABCD，進而DQ⊥PQ，再求出DQ⊥PO，得到∠PQO就是二面角P-CD-A的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）在線段PA存在中點F，使得EF∥平面PAB…（1分）
理由如下：
取PD中點M，連FM，CM．
∵F，M分別是PA，PD的中點，∴$FM∥AD，FM=\frac{1}{2}AD$，
∵平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，
∴$EC∥AD，EC=\frac{1}{2}AD$，∴EC∥FM，EC=FM，
∴四邊形EFMC是平行四邊形，∴EF∥CM．…（3分）
又CM?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD…（5分）
（Ⅱ）取AB中點O，連OE并延長交DC延長線于Q，則PO⊥AB
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2AB=2．AC²=1²+2²-2×1′×2×cos60°=3，
∴AC²=AB²+BC²，∴∠BAC=90°，
又∵O，E分別是AB，BC的中點，∴OQ∥AC，OG=AC，DQ⊥OQ…（7分）
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PO⊥AB，PO?平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴DQ⊥PQ，…（8分）
又DQ⊥OQ，PO∩OQ=O，∴DQ⊥平面POQ，∴DQ⊥PO…（9分）
∴∠PQO就是二面角P-CD-A的平面角…（10分）
在等邊△PAB中，$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△PQO中，$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$OQ=AC=\sqrt{3}$，
∴$PQ=\sqrt{O{P^2}+O{Q^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，$cos∠PQO=\frac{OQ}{PQ}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的判斷，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．