Question

3．已知圓C的一條直徑的端點分別是A（0，1），B（2，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx-2與圓C相切，求k的值；
（Ⅲ）若圓C上恰有兩個點到點D（1，a）（a＞1）的距離為2，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx-2與圓C相切，則圓心C（1，1）到直線kx-y-2=0的距離等于半徑1，即可求k的值；
（Ⅲ）根據(jù)圓C上恰有兩個點到點D（1，a）（a＞1）的距離為2，可寫出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵A（0，1），B（2，1）是圓C的一條直徑的兩端點，
∴圓心C是AB的中點，其坐標為（1，1）（1分）
圓C半徑|AC|=1（12分）
∴圓C的方程是：（x-1）²+（y-1）²=1（4分）
（Ⅱ）∵直線l：y=kx-2與圓C相切，
∴圓心C（1，1）到直線kx-y-2=0的距離等于半徑1，即$\frac{{|{k•1-1-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，（7分）
解得$k=\frac{4}{3}$．（9分）
（Ⅲ）a的取值范圍是（2，4）（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．