1．已知a＞b＞0，求證：$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜1．

分析 運(yùn)用分析法證明．由a＞b＞0，要證原不等式成立，可通過移項(xiàng)，通分，去分母，化簡(jiǎn)可得a＞b，即可得證．

解答 證明：運(yùn)用分析法證明．
由a＞b＞0，要證$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜1，
只要證$\frac{a-b}{a+b}$＜1-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
即證（a-b）（a2+b2）＜（a+b）（a2-b2），
即為a3+ab2-ba2-b3＜a3-ab2+ba2-b3，
即有2ab2＜2ba2，即b＜a，顯然成立．
則有$\frac{a-b}{a+b}$+$\frac{2^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$＜1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法證明，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a（1-{t}^{2}）}{1+{t}^{2}}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$（a∈R，t為參數(shù)）表示離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)F2，且與C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

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12．設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2+abc=4，證明：a+b+c≤3．

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9．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx滿足：①f（2）=0，②關(guān)于x的方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域．

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16．（Ⅰ）用分析法證明：$\sqrt{8}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1．求證：a+b+c≥$\sqrt{3}$．

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6．設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{a_n}$）．
（1）試求a1、a2、a3；
（2）猜想通項(xiàng)an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．第47屆聯(lián)合國大會(huì)于1993年1月18日通過193號(hào)決議，確定自1993年起，每年的3月22日為“世界水日”，依次推動(dòng)對(duì)水資源進(jìn)行進(jìn)行綜合性統(tǒng)籌規(guī)劃和管理，加強(qiáng)水資源保護(hù)，解決日益嚴(yán)重的水問題．某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層的居民對(duì)“世界水日”的了解程度，隨機(jī)抽取了300名年齡在[10，60]的公民進(jìn)行調(diào)查，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)為如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求抽取的年齡在[30，40）內(nèi)的居民人數(shù)；
（Ⅱ）若按照分層抽樣的方法從年齡在[10，20）、[50，60]的居民中抽取6人進(jìn)行知識(shí)普及，并在知識(shí)普及后再抽取2人進(jìn)行測(cè)試，求進(jìn)行測(cè)試的居民中至少有1人的年齡在[50，60]內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．甲、乙、丙三名高二學(xué)生計(jì)劃利用今年“五一”三天小長(zhǎng)假在附近的五個(gè)景點(diǎn)（五個(gè)景點(diǎn)分別是：荊州古城、三峽大壩、古隆中、明顯陵、西游記公園）每人彼此獨(dú)立地選三個(gè)景點(diǎn)游玩．其中甲同學(xué)必選明顯陵，不選西游記公園，另從其余中隨機(jī)任選兩個(gè)；乙、丙兩名同學(xué)從五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)任選三個(gè)．
（1）求甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)且乙同學(xué)未選中三峽大壩景點(diǎn)的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙選中三峽大壩景點(diǎn)的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．有甲、乙兩個(gè)壇子，每個(gè)壇子裝有大小相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)在從甲壇子中隨機(jī)取出2個(gè)小球再從乙壇子中隨機(jī)取出2個(gè)小球．
（1）求從兩個(gè)壇子取的球都是紅球的概率；
（2）求取出的4個(gè)球既含有白球又含有紅球的概率．

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