Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且{b_n}的前n項和為T_n，當且僅當n=7時T_n最大，則數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍是（　　）

• A．2

  1

  7

  ＜p＜2

  1

  6

• B．2-

  1

  6

  ＜q＜2-

  1

  7

• C．q＜2-

  1

  6

  或q＞2-

  1

  7

• D．q＞2

  1

  6

  或q＜2

  1

  7

Answer 1

分析：由b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log₂q，得出數(shù)列{b_n}是以log₂q為公差，以log₂a₁=1為首項的等差數(shù)列，由已知僅當n=7時T_n最大，通過解不等式組

b7＞0 b8＜0

，求出公比q的取值范圍即可．

解答：解：∵等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log₂q
∴數(shù)列{b_n}是以log₂q為公差
 以log₂a₁=1為首項的等差數(shù)列，
其通項公式為b_n=1+（n-1）log₂q．
由于當且僅當n=7時T_n最大，所以log₂q＜0，且

b7＞0 b8＜0

解得-

1

6

＜log₂q＜-

1

7

，即2-

1

6

＜q＜2-

1

7

故選B

點評：本題考查了等差數(shù)列的判定，前n項和最值情況．本題得出數(shù)列{b_n}是以log₂q為公差，以log₂a₁=1為首項的等差數(shù)列為關(guān)鍵．