Question

8．已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長，A=60°，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，則$\frac{2absinC}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$=-5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理對acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c化簡可求出tanB，利用余弦定理可得$\frac{2absinC}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$=tanC=-tan（A+B）．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{5}$（60°+B）=$\frac{3}{5}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB），
∴tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{2ab}$=cosC，∴$\frac{2absinC}{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{sinC}{cosC}$=tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=-5$\sqrt{3}$．
故答案為-5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)求值，屬于中檔題．