Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使得f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域仍為[a，b]，那么函數(shù)f（x）叫做保值函數(shù)，若函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$為保值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（-\frac{9}{4}，-2]$．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$，定義域?yàn)閤≥-2，記A=[-2，+∞）．可知：函數(shù)f（x）在A上單調(diào)遞增，取[a，b]?A，根據(jù)函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$為保值函數(shù)，則k+$\sqrt{x+2}$=x，在[a，b]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，化為$\sqrt{x+2}$=x-k，分別畫出y=x-k，y=$\sqrt{x+2}$的圖象，利用直線與圓錐曲線相交的問題與判別式的關(guān)系即可得出．

解答 解：函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$，定義域?yàn)閤≥-2，記A=[-2，+∞）．
可知：函數(shù)f（x）在A上單調(diào)遞增，
取[a，b]?A，
∵函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$為保值函數(shù)，
則k+$\sqrt{x+2}$=x，在[a，b]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
化為$\sqrt{x+2}$=x-k，
分別畫出y=x-k，y=$\sqrt{x+2}$的圖象，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-k}\\{y=\sqrt{x+2}}\end{array}\right.$，化為x²-（2k+1）x+k²-2=0，
△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，
解得k＞$-\frac{9}{4}$．
把x=-2代入方程可得：4+2（2k+1）+k²-2=0，解得k=-2．
∴k的取值范圍是$（-\frac{9}{4}，-2]$．
故答案為：$（-\frac{9}{4}，-2]$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線相交的問題與判別式的關(guān)系、新定義“保值函數(shù)”、函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．