Question

1．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在該拋物線的準(zhǔn)線上，則直線AB的斜率為（　�。�

• A． ±$\sqrt{2}$
• B． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． ±$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，求出sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即可求出直線AB的斜率．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，
由拋物線定義知：|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
∵|MC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，∴|MN|=$\frac{1}{\sqrt{3}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴cos∠CMN=cos（90°-θ）=$\frac{|MN|}{|MC|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
根據(jù)對(duì)稱性，直線AB的斜率為±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．