Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=-2cosx-x，g（x）=-lnx-$\frac{k}{x}$（k＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈[0，$\frac{1}{2}$]，總存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）求導(dǎo)，令f′（x）＞0，根據(jù)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)x的取值范圍，函數(shù)f（x）的單調(diào)性及最大值，根據(jù)k的取值范圍，分別求得g（x）的最大值，使得f（x₁）＜g（x₂），則需要f（x）_max＜g（x）_max，即可求出滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=2sinx-1，
令f′（x）＞0，得2sinx-1＞0，
解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）遞增區(qū)間為（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$）k∈Z，
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f′（x）=2sinx-1＜0，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]，上遞減，
∴f（x）_max=f（0）=-2，
當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{2}$時，g′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{k-x}{{x}^{2}}$，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g′（x）≤0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=ln2-2k，
由題意可知，ln2-2k＞-2，又0＜k≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜k≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)k≥1時，g′（x）≥0，g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上遞增，
∴g（x）_max=g（1）=-k＞-2，
∴1≤k＜2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜k＜1時，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x＜k，g′（x）＜0，
當(dāng)k＜x≤1，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（k）=-lnk-1＞-2，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜1，
綜上，k∈（0，2）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是解答該題的關(guān)鍵，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，是壓軸題．