Question

5．A，B兩地之間隔著一個(gè)水塘（如圖），現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C，測(cè)得CA=10$\sqrt{7}$km，CB=10km，∠CBA=60°．
（1）求A，B兩地之間的距離；
（2）若點(diǎn)C在移動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠ACB=60°不變，問(wèn)當(dāng)∠CAB何值時(shí)，△ABC的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作CD⊥AB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，則AB=AD+BD；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出AC•BC的最大值，根據(jù)最大值成立的條件得出∠CAB的度數(shù)，代入三角形面積公式得出面積的最大值．

解答 解：（1）過(guò)C作CD⊥AB于D
∵∠CBA=60°，∴BD=$\frac{1}{2}BC=5$km，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=5$\sqrt{3}$km．
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=25km．
∴AB=AD+BD=30km．
（2）在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}=\frac{1}{2}$，
∴AC²+BC²=AC•BC+AB²=AC•BC+900，
∵AC²+BC²≥2AC•BC，
∴AC•BC+900≥2AC•BC，
∴AC•BC≤900，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=30時(shí)取得等號(hào)．
當(dāng)AC=BC=30時(shí)，△ABC是等邊三角形，故∠CAB=60°．
∴S_△ABC的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}×3{0}^{2}$=225$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題．