Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線(xiàn)l：x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
（2）過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線(xiàn)m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn).若A是PB的中點(diǎn),求直線(xiàn)m的斜率.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】點(diǎn)M(x,y)到直線(xiàn)x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍，則 .

所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為

（2）

【解答】P(0,3),設(shè) ，由題意知

橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是經(jīng)檢驗(yàn)直線(xiàn)m不經(jīng)過(guò)這2點(diǎn)，即直線(xiàn)m斜率k存在. .設(shè)直線(xiàn)m方程為：聯(lián)立橢圓和直線(xiàn)方程，整理得：

所以，直線(xiàn)m的斜率 .

【解析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程即可；設(shè)出直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與 的關(guān)系式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率.