Question

5．甲、乙、丙三人準備報考某大學，假設甲考上的概率為$\frac{2}{5}$，甲，丙兩都考不上的概率為$\frac{6}{25}$，乙，丙兩都考上的概率為$\frac{3}{10}$，且三人能否考上相互獨立．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自考上的概率；
（Ⅱ）設X表示甲、乙、丙三人中考上的人數(shù)與沒考上的人數(shù)之差的絕對值，求X的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知條件利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出乙、丙兩人各自考上的概率．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為1，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）設A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，
則P（A）=$\frac{2}{5}$，且$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{2}{5}）（1-P（C））=\frac{6}{25}}\\{P（B）P（C）=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
解得P（C）=$\frac{3}{5}$，P（B）=$\frac{1}{2}$．
∴乙考上的概率為$\frac{1}{2}$，丙考上的概率為$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為1，3，
P（X=1）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{19}{25}$，
P（X=3）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列為：

X	1	3
P	$\frac{19}{25}$	$\frac{6}{25}$

EX=$1×\frac{19}{25}+2×\frac{6}{25}$=$\frac{31}{25}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．