Question

15．某公司做了用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品滿(mǎn)意度的問(wèn)卷調(diào)查，隨機(jī)抽取20名男女用戶(hù)，匯總數(shù)據(jù)如表

	不滿(mǎn)意	滿(mǎn)意	合計(jì)
男	1	4	5
女
合計(jì)			20

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，根據(jù)原始資料只查得：從滿(mǎn)意的人數(shù)中任意抽取2人，都是男生的概率是$\frac{2}{7}$．
（Ⅰ）根據(jù)條件完成以上2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷有多大以上的把握認(rèn)為“用戶(hù)滿(mǎn)意度”與性別有關(guān)．
（Ⅱ）從以上男性用戶(hù)中抽取2人，女性用戶(hù)中抽取1人，其中滿(mǎn)意的人數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）．
附：χΧ
²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

P（χ2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出n，完成2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，可得有多大以上的把握認(rèn)為“用戶(hù)滿(mǎn)意度”與性別有關(guān)．
（Ⅱ）X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)滿(mǎn)意的人數(shù)為n，依題意得：$\frac{C_4^2}{C_n^2}=\frac{2}{7}$，解得：n=7…（2分）
2×2列聯(lián)表

	不滿(mǎn)意	滿(mǎn)意	合計(jì)
男	1	4	5
女	12	3	15
合計(jì)	13	7	20

…（3分）${Χ^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{20×{{（{12×4-1×3}）}^2}}}{13×7×15×5}≈5.934＞5.024$…（5分）
所以有97.5%把握認(rèn)為“用戶(hù)滿(mǎn)意度”與性別有關(guān)．…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值為1，2，3             …（7分）
P（X=1）=$\frac{{C_4^1C_{12}^1}}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{8}{25}$…（8分）
P（X=2）=$\frac{{C_4^2C_{12}^1+C_4^1C_3^1}}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{14}{25}$…（9分）
P（X=3）=$\frac{C_4^2C_3^1}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{3}{25}$…（10分）
X的分布列

X	1	2	3
P	$\frac{8}{25}$	$\frac{14}{25}$	$\frac{3}{25}$

…（11分）$E（X）=1×\frac{8}{25}+2×\frac{14}{25}+3×\frac{3}{25}=\frac{9}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分析處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，考查必然與或然思想、化歸思想等