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9.設(shè)兩個(gè)向量a=(λ+2,λ2-cos2θ),=(μ,\frac{μ}{2}+sinθ),其中λ,μ,θ∈R,若\overrightarrow{a}=2\overrightarrow,則\frac{λ}{μ}的最小值為-6.

分析 由題意,求出2\overrightarrow的坐標(biāo)形式,利用向量共線求出λ,μ,θ的關(guān)系式,利用三角函數(shù)性質(zhì)求出μ的取值范圍,找到\frac{λ}{μ}的形式,利用函數(shù)單調(diào)性求出其取值范圍,確定其最小值.

解答 解:由題意得,
2\overrightarrow=(2μ,μ+2sinθ),
又因?yàn)?\overrightarrow{a}=2\overrightarrow, 所以\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2μ}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}θ=μ+2sinθ}\end{array}\right.$,
所以μ-λ2=sin2θ-2sinθ+1-2=(sinθ-1)2-2∈[-2,2],
所以-2≤μ-(2μ-2)2≤2,
所以-2≤4μ2-9μ+4≤2,
所以\left\{\begin{array}{l}{4{μ}^{2}-9μ+4≤2}\\{-2≤4{μ}^{2}-9μ+4}\end{array}\right.,
所以\frac{1}{4}≤μ≤2,
所以\frac{λ}{μ}=\frac{2μ-2}{μ}=2-\frac{2}{μ}≥-6,當(dāng)μ=\frac{1}{4}時(shí)取“=”,
所以\frac{λ}{μ}的最小值為-6.
故答案為:-6.

點(diǎn)評(píng) 本題考察了向量坐標(biāo)運(yùn)算,向量相等,復(fù)合函數(shù)求值域,函數(shù)單調(diào)性求值域等知識(shí)點(diǎn),綜合性很強(qiáng);難點(diǎn)在于理清真?zhèn)€解題思路,關(guān)鍵點(diǎn)是將\frac{λ}{μ}轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求出其值域.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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