Question

9．設(shè)兩個(gè)向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²θ），$\overrightarrow$=（μ，$\frac{μ}{2}$+sinθ），其中λ，μ，θ∈R，若$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，則$\frac{λ}{μ}$的最小值為-6．

Answer 1

分析 由題意，求出2$\overrightarrow$的坐標(biāo)形式，利用向量共線求出λ，μ，θ的關(guān)系式，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出μ的取值范圍，找到$\frac{λ}{μ}$的形式，利用函數(shù)單調(diào)性求出其取值范圍，確定其最小值．

解答 解：由題意得，
2$\overrightarrow$=（2μ，μ+2sinθ），
又因?yàn)?\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2μ}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}θ=μ+2sinθ}\end{array}\right.$，
所以μ-λ²=sin²θ-2sinθ+1-2=（sinθ-1）²-2∈[-2，2]，
所以-2≤μ-（2μ-2）²≤2，
所以-2≤4μ²-9μ+4≤2，
所以$\left\{\begin{array}{l}{4{μ}^{2}-9μ+4≤2}\\{-2≤4{μ}^{2}-9μ+4}\end{array}\right.$，
所以$\frac{1}{4}$≤μ≤2，
所以$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2μ-2}{μ}=2-\frac{2}{μ}$≥-6，當(dāng)$μ=\frac{1}{4}$時(shí)取“=”，
所以$\frac{λ}{μ}$的最小值為-6．
故答案為：-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量相等，復(fù)合函數(shù)求值域，函數(shù)單調(diào)性求值域等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)；難點(diǎn)在于理清真?zhèn)�解題思路，關(guān)鍵點(diǎn)是將$\frac{λ}{μ}$轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出其值域．