Question

18．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點(diǎn)．已知AB=3米，AD=2米．設(shè)AN=x（單位：米），若x∈[3，4]（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 先求出AM的長，表示出矩形AMPN的面積，通過求導(dǎo)得到關(guān)于矩形的面積的函數(shù)在區(qū)間遞減，從而求出x的值以及矩形的最大面積．

解答 解：由于$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，則$AM=\frac{3x}{x-2}$，
故${S_{AMPN}}=AN•AM=\frac{{3{x^2}}}{x-2}$，
令$y=\frac{{3{x^2}}}{x-2}$，則$y'=\frac{{6x（{x-2}）-3{x^2}}}{{{{（{x-2}）}^2}}}=\frac{{3x（{x-4}）}}{{{{（{x-2}）}^2}}}$，
因?yàn)楫?dāng)x∈[3，4）時，y′＜0，所以函數(shù)$y=\frac{3x}{x-2}$在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
從而當(dāng)x=3時$y=\frac{3x}{x-2}$取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，
此時AN=3米，AM=9米．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用，考查矩形的知識，是一道中檔題．