Question

7．三棱錐P-ABC中PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1．則下列結論中正確的是①PA⊥BC②△ABC為正三角形③體積為$\frac{1}{2}$④表面積為$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，將你認為正確的序號填上①②④．

Answer 1

分析 利用線面垂直的判定定理和性質，可判斷①；判斷△ABC的面積，可判斷②；求出棱錐的體積，可判斷③；求出棱錐的體表面積，可判斷④

解答 解：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，
又∵BC?平面PBC，
∴PA⊥BC，故①正確；
∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1．
∴AB=AC=BC=$\sqrt{2}$，故△ABC為正三角形，故②正確；
三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，故③錯誤；
三棱錐P-ABC的表面積S=3×$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{\sqrt{2}}^{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，故④正確；
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間線面關系的判定，棱錐的體積和表面積，難度不大，屬于基礎題．