Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 首先求出f′（x），然后分別求出當(dāng)f′（x）＞0、f′（x）＜0時x的取值范圍，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：由于f（x）=e^xsinx，
所以f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ+π，2kπ+2π），即x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$）時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間為（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$）（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．