Question

若方程x=ke^x有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別討論k的取值范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可得到結(jié)論．

解答： 解：若k=0，則x=0，方程只有一個(gè)解，不滿足條件，
若k＜0，則函數(shù)y=ke^x為減函數(shù)，
作出函數(shù)y=x和y=ke^x的圖象可知，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
若k＞0，設(shè)f（x）=x-ke^x，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-ke^x，
由1-ke^x=0，即e^x=

1

k

，
交點(diǎn)x=ln

1

k

，
則x=ln

1

k

為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
要使方程x=ke^x有兩個(gè)零點(diǎn)，
則只需要f（ln

1

k

）＞0，
即ln

1

k

-ke ln

1

k

=ln

1

k

-k•

1

k

=ln

1

k

-1＞0，
即

1

k

＞e，
則0＜k＜

1

e

，
故答案為：0＜k＜

1

e

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．