Question

設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（x+1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³，若方程f（x）-cos

π

2

x-a=0（a＜0）無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-2）
• B、（-∞，-2]
• C、（-∞，-1]
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，推出函數(shù)的周期性，求出函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）-cos

π

2

x-a=0得f（x）-cos

π

2

x=a，
設(shè)g（x）=f（x）-cos

π

2

x，
∵定義在R上的偶函數(shù)f（x），
∴g（x）也是偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³，
∴g（x）=x³-cos

π

2

x，則此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，則g（0）≤g（x）≤g（1），
即-1≤g（x）≤1，
∵偶函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（x+1），
∴f（1-x）=f（x+1）=f（x-1），
即f（x）滿足f（x+2）=f（x），
即函數(shù)的周期是2，
則函數(shù)g（x）在R上的值域?yàn)閇-1，1]，
若方程f（x）-cos

π

2

x-a=0（a＜0）無(wú)解，即g（x）=f（x）-cos

π

2

x=a無(wú)解，
則a＜-1，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和周期性，以及求出函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．