Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^m-3（m∈N⁺）在（0，+∞）上是減函數(shù)，求函數(shù)f（x）的解析式，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，m-3＜0，即m＜3，從而解出m的值，代入求出f（x）=x^-2或f（x）=x^-1，從而討論其單調(diào)性與奇偶性．

解答： 解：∵冪函數(shù)f（x）=x^m-3（m∈N⁺）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m-3＜0，即m＜3，
又∵m∈N⁺，
∴m=1或m=2；
∴f（x）=x^-2或f（x）=x^-1，
f（x）=x^-2是R上的偶函數(shù)，其在（0，+∞）上是減函數(shù)，在（-∞，0）上是增函數(shù)；
f（x）=x^-1是R上的奇函數(shù)，其在（0，+∞）上是減函數(shù)，在（-∞，0）上也是減函數(shù)．

點評：本題考查了冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．