Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）一定存在極大值和極小值
• B． 函數(shù)f（x）在點（x₀，f（x₀））（x₀∈R）處的切線與f（x）的圖象必有兩個不同的公共點
• C． 函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形
• D． 若函數(shù)f（x）在（-8，x₁），（x₂，+8）上是增函數(shù)，則x₂-x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到單調(diào)區(qū)間，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），∴f′（x）=3x²+2ax-1，
∴△=4a²⁺12＞0，
∴f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x₁＜x₂，列表如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
①x=x₁時，函數(shù)f（x）取到極大值，x=x₂時，函數(shù)f（x）取到極小值，故選項A正確；
②函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，x₂-x₁=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}+3}}{3}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故選項B正確；
③∵f（-$\frac{2}{3}$a-x）+f（x）=$\frac{{4a}^{3}}{9}$+$\frac{2a}{3}$，f（-$\frac{a}{3}$）=$\frac{{2a}^{3}}{9}$+$\frac{a}{3}$，∴f（-$\frac{2a}{3}$-x）+f（x）=2f（-$\frac{a}{3}$），∴（-$\frac{a}{3}$，f（-$\frac{a}{3}$））為函數(shù)的對稱中心，故選項C正確，
選項A，B，C都正確，利用排除法，選項D錯誤，
故選：D．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題，屬于難題．