Question

已知函數(shù)為偶函數(shù)．

(1)求的值；

(2)若方程有且只有一個根，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）－，（2）{a|a>1或a＝－2－2}

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)列等量關系：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.（2）先將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程.由 得log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，即令t＝2x，則(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可滿足題意．①當a＝1時，t＝－1，不合題意，舍去．②有一正一負根， ，a>1. ③有兩根相等，a＝－2(＋1)．

【解析】
(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，

即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，

即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. 6分

(2)依題意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，

即 8分

令t＝2x，則(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可滿足題意．

①當a＝1時，t＝－1，不合題意，舍去． 9分

②上式有一正一負根t1，t2，

即，得a>1.

此時，a·2x－a=>0， ∴a>1. ------11分

③上式有兩根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此時t＝，

若a＝2(－1)，則有t＝<0，此時方程(1－a)t2＋at＋1＝0無正根，

故a＝2(－1)舍去； 13分

若a＝－2(＋1)，則有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)． 15分

綜上所述，a的取值范圍為{a|a>1或a＝－2－2}． 16分

考點：偶函數(shù)，二次方程根與系數(shù)關系