Question

2．已知雙曲線的離心率等于2，且與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦點，求此雙曲線方程及其漸近線方程．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點，設雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點坐標為（-4，0）和（4，0），
則可設雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∵c=4，又雙曲線的離心率等于2，即$\frac{c}{a}=2$，∴a=2．
∴b²=c²-a²=12；
故所求雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$．　
漸近線方程為：$y=±\sqrt{3}x$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的離心率公式和a，b，c的關系，考查運算能力，屬于基礎題．