Question

14．如圖，正方形ABCD與正方形ABEF有一條公共邊AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，M是EC的中點，AB=2．
（1）求證：AE∥平面MBD；
（2）求證：BM⊥DC；
（3）求三棱錐M-BDC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于O，連接OM，證明OM∥AE，利用線面平行的判定證明：AE∥平面MBD；
（2）證明CD⊥平面BCE，即可證明：BM⊥DC；
（3）利用等體積法求三棱錐M-BDC的體積．

解答 （1）證明：連接AC，交BD于O，連接OM，
∵ABCD是正方形，
∴OA=OC，
∵M是EC的中點，
∴OM∥AE，
∵OM?平面MBD，AE?平面MBD，
∴AE∥平面MBD；
（2）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，BE⊥AB，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥CD，
∵BC⊥CD，BC∩BE=B，
∴CD⊥平面BCE，
∵BM?平面BCE，
∴CD⊥BM；
（3）解：由（2）知道，BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BC，
∵M是EC的中點，
∴S_△BMC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BE•BC$=1，
∵CD⊥平面BCE，
∴V_M-BDC=V_D-BMC=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行、垂直的判定，考查幾何體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．