Question

12．曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之和為10．曲線C的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P在曲線C上，且PA⊥PF₂．
（1）求曲線C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上求一點(diǎn)M，使M到曲線C上點(diǎn)的距離最大值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，曲線C為橢圓，且求出橢圓的長(zhǎng)半軸和半焦距長(zhǎng)，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合PA⊥PF₂，以及P在橢圓上聯(lián)立方程組求得P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（0，m），N（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，則|MN|²=x²+（y-m）²，再由N在橢圓上把x用含有y的代數(shù)式表示，配方后分類(lèi)討論求得答案．

解答 解：（1）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為G，則|GF₁|+|GF₂|=10，
由橢圓的定義得曲線C為橢圓，且a=5，c=4，∴b²=9，
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），A（-5，0），則$\overrightarrow{AP}=（{x}_{0}+5，{y}_{0}）$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}=（4-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
由PA⊥PF₂，得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，
∴${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+{{y}_{0}}^{2}=20$，
又P在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，
代入消元得（x₀+5）（16x₀-55）=0，解得${x}_{0}=\frac{55}{16}$或x₀=-5（舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{55}{16}，±\frac{9\sqrt{15}}{16}）$；
（3）設(shè)M（0，m），N（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，
則|MN|²=x²+（y-m）²，
由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$得，${x}^{2}=25-\frac{25}{9}{y}^{2}$，代入|MN|²得：
$|MN{|}^{2}=-\frac{16}{9}{y}^{2}-2my+{m}^{2}+25$=$-\frac{16}{9}（y+\frac{9}{16}m）^{2}+\frac{25}{16}{m}^{2}+25，-3≤y≤3$，
∴若$m＞\frac{16}{3}$，則y=-3時(shí)，|MN|取得最大值為m+3，
∴$m=4\sqrt{3}-3＜\frac{16}{3}$（舍去），
若$m＜-\frac{16}{3}$，則y=3時(shí)，|MN|取得最大值為-m+3，
∴$m=-4\sqrt{3}+3＞-\frac{16}{3}$（舍去），
若$-\frac{16}{3}≤m≤\frac{16}{3}$，則當(dāng)y=-$\frac{9}{16}m$時(shí)，|MN|²取得最大值$\frac{25}{16}{m}^{2}+25=48$，
解得$m=±\frac{4\sqrt{23}}{5}∈[-\frac{16}{3}，\frac{16}{3}]$，
綜上所述，點(diǎn)$M（0，±\frac{4\sqrt{23}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了投影點(diǎn)簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了；利用配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．