Question

已知函數(shù)y=

1

3

x³+x²+ax-5
（1）若函數(shù)在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上總是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍

 

．
（3）若函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由條件結(jié)合二次函數(shù)知識，得到y(tǒng)′≥0恒成立，運用判別式不大于0，解出即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，由條件結(jié)合二次函數(shù)知識，得到y(tǒng)′≥0在[1，+∞）上恒成立，由參數(shù)分離，求出最小值，即可；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，由條件結(jié)合二次函數(shù)知識，得到y(tǒng)′≤0在（-3，1）上恒成立，由參數(shù)分離，求出最大值，即可．

解答： 解：（1）y′=x²+2x+a，∵函數(shù)在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，
∴y′≥0恒成立，∴判別式△=4-4a≤0，即有a≥1；
（2）y′=x²+2x+a，∵函數(shù)在[1，+∞）上總是單調(diào)函數(shù)，
∴y′≥0在[1，+∞）上恒成立，即-a≤x²+2x=（x+1）²-1，∴-a≤4-1，故a≥-3；
（3）y′=x²+2x+a，∵函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，∴y′≤0在（-3，1）上恒成立，
即-a≥（x+1）²-1，則-a≥4-1，即有a≤-3．
故答案為：[1，+∞），[-3，+∞），（-∞，-3]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，同時考查二次函數(shù)的值域問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道易錯題．