Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，S_n為其前n項和
（1）該數(shù)列從第幾項開始為負(fù)數(shù)；
（2）求S_n；
（3）求使S_n＜0的最小的正整數(shù)n，
（4）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式可得公差d，即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（3）由S_n＜0，解出即可；
（4）由（1）可得：數(shù)列{a_n}的前17項大于0，從第18項開始為負(fù)數(shù)．可得當(dāng)n≤17時，T_n=S_n=

1

2

(-3n2+103n)；當(dāng)n≥18時，T_n=S₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2S₁₇-S_n，即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁₀=23，a₂₅=-22，∴a₂₅=a₁₀+15d，∴-22=23+15d，解得d=-3．
∴a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n．
令a_n＜0，解得n＞

53

3

=17+

2

3

，
因此該數(shù)列從第18項開始為負(fù)數(shù)．
（2）由（1）可得：S_n=

n(50+53-3n)

2

=

-3n2+103n

2

．
（3）由S_n＜0，可得-3n²+103n＜0，解得n＞

103

3

=34+

1

3

，
∴使S_n＜0的最小的正整數(shù)n=35．
（4）由（1）可得：數(shù)列{a_n}的前17項大于0，從第18項開始為負(fù)數(shù)．
∴當(dāng)n≤17時，T_n=S_n=

1

2

(-3n2+103n)；
當(dāng)n≥18時，T_n=S₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2S₁₇-S_n
=（-3×17²+103×17）-

1

2

(-3n2+103n)
=884-

1

2

(-3n2+103n)．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值的數(shù)列求和問題，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．