Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+x²-x （a∈R），
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設a＞0，如果對任意x₁，x₂∈（0，+∞），均有f（x₁）-f（x₂）＞3|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的導數(shù)即可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）將不等式進行轉化，即可得到結論．

解答： 解：（I）由題，a=1時，f（1）=0，f′（1）=3，故所求切線方程為3x-y-3=0；  …（4分）
（Ⅱ） f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=

a+1

x

+2x-1=

2x2-x+a+1

x

，△=1-8（a+1）=-8a-7，
①a≥-

7

8

時，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
②-1＜a＜-

7

8

時，f（x）增區(qū)間為（0，

1- -8a-7

4

），（

1+ -8a-7

4

，+∞），
減區(qū)間為（

1- -8a-7

4

，

1+ -8a-7

4

）；
③a≤-1時，f（x）增區(qū)間為），（

1+ -8a-7

4

，+∞），減區(qū)間為（0，

1- -8a-7

4

）；（8分）
（ III） 由（ II）a＞0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不妨設x₁＞x₂，
則有f（x₁）-f（x₂）＞3（x₁-x₂），即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-3x₂恒成立，
故y=f（x）-3x在（0，+∞）上為增函數(shù)，y′=

a+1

x

+2x-4≥0，
即2

2(a+1)

-4≥0，
解得a≥1，
即a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和最值與導數(shù)之間的關系，綜合性較強，運算量較大．