Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，xf（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)（x）=lnx-x²+x，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）分離參數(shù)數(shù)，x≥1時(shí)，xf（x）≤g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥

2lnx

x-1

，設(shè)h（x）=

2lnx

x-1

，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，求出最大值為h（1）=2，故求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
當(dāng)a=2時(shí)，
∴F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x²+x，x＞0，
∴F′（x）=

1

x

-2x+1=-

(2x+1)(x-1)

x

令F′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）為增函數(shù)，
故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）
（Ⅱ）∵當(dāng)x≥1時(shí)，xf（x）≤g（x）恒成立，
∴xf（x）-g（x）≤0恒成立，
即xlnx-（

1

2

ax²-

1

2

ax）≤0恒成立，
∴a≥

2lnx

x-1

，
設(shè)h（x）=

2lnx

x-1

，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

再設(shè)m（x）=x-1-xlnx，
∴m′（x）=1-（lnx+1）=-lnx＜0，
∴m（x）=x-1-xlnx在[1，+∞）為減函數(shù)，
∴m（x）=x-1-xlnx有最大值，最大值為m（1）=1-1-ln1=0，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

≤0，
∴h（x）=

2lnx

x-1

在[1，+∞）為減函數(shù)，
∴h（x）有最大值，最大值為h（1）=2，
∴a≥2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍的問題，分離參數(shù)法，是參數(shù)的常用方法，屬于中檔題．