Question

13．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上，f″（x）恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”．例如函數(shù)f（x）=lnx在任意正實(shí)數(shù)區(qū)間（a，b）上都是凸函數(shù)．現(xiàn)給出如下命題：
①區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x，f（x））處的切線的斜率隨x的增大而減�。�
②若函數(shù)f（x），g（x）都是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）g（x）也是區(qū)間（a，b）上的凸函數(shù)；
③若在區(qū)間（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則?x₁，x₂∈（a，b），x₁≠x₂，都有f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）＞$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
④對(duì)滿足|m|≤1的任意實(shí)數(shù)m，若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-x²+mx-m在區(qū)間（a，b）上均為凸函數(shù)，則b-a的最大值為2．
⑤已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{x}$，x∈（1，2），則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x₀∈（1，2），f（x）≤f（x₀）+f′（x₀）（x-x₀）恒成立；
其中正確命題的序號(hào)是①③⑤．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的凹凸性的定義，函數(shù)的單調(diào)性判斷①③，舉例判斷②，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b-a的最大值判斷④，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）的最大值判斷⑤．

解答 解：①有凸函數(shù)的圖象作切線變知正確，或者因?yàn)樵趨^(qū)間（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，
所以f'（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)減，所以結(jié)論成立，①正確；
②舉反例說(shuō)明：如：函數(shù)f（x）=-x²，$g（x）=-\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1）都是凸函數(shù)，
但是f（x）•g（x）=x在區(qū)間（0，1）不是凸函數(shù)，②錯(cuò)誤；
③若在區(qū)間（a，b）上，f''（x）＜0恒成立，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”．
有圖象知道$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$成立，③正確；
④因?yàn)閒''（x）=x²-mx-2的兩個(gè)零點(diǎn)為a，b（a＜b），
所以（b-a）²=（a+b）²-4ab=m²+8在m∈[-1，1]的最大值為9，即（b-a）_max=3，④錯(cuò)誤；
⑤由已知轉(zhuǎn)化為$\frac{{f（x）-f（{x_0}）}}{{x-{x_0}}}≤f'（{x_0}）$，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化割線與切線的問(wèn)題，
或者構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-f（x₀）-f'（x₀）（x-x₀），注意：F（x₀）=0
因?yàn)镕'（x）=f'（x）-f'（x₀）而，F(xiàn)''（x）=f''（x）＜0，
所以F'（x）=f'（x）-f'（x₀）單調(diào)減，且F'（x）≤F'（x₀）=0，
所以，F(xiàn)（x）_max=F（x₀）=0，⑤正確；
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，“凸函數(shù)”的定義，是一道中檔題．