Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，CC₁=4，M是棱CC₁上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若CM=$\frac{5}{2}$，求二面角A-MB₁-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CC₁⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能證明BC⊥AM．
（Ⅱ）以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-MB₁-C的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵$AC=BC=2，AB=2\sqrt{2}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM．
解：（Ⅱ）以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵CM=$\frac{5}{2}$，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M（0，0，$\frac{5}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（0，-2，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面AMB₁的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}M}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+\frac{5}{2}z=0}\\{-2y-\frac{5}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=5，得$\overrightarrow{n}$=（5，-3，4），
又平面MB₁C 的一個法向量$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由圖知二面角A-MB₁-C為銳角，
∴二面角A-MB₁-C的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．