Question

5．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，給出以下結(jié)論：
①若a-2b+3c=0，則$\frac{^{2}}{ac}$的最小值是3；
②若a+2b+2ab=8，則a+2b的最小值是4；
③若a（a+b+c）+bc=4，則2a+b+c的最小是2$\sqrt{2}$；
④若a²+b²+c²=4，則$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc的最大值是2$\sqrt{7}$．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 變形，利用基本不等式，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若a-2b+3c=0，則2b=a+3c≥2$\sqrt{3ac}$，∴b²≥3ac，∴$\frac{^{2}}{ac}$≥3，∴$\frac{^{2}}{ac}$的最小值是3，正確；
②設(shè)t=a+2b，則t＞0，由a+2b+2ab=8得2ab=8-（a+2b）≤$（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，即8-t≤$\frac{{t}^{2}}{4}$，整理得t²+4t-32≥0，解得t≥4或t≤-8（舍去），即a+2b≥4，所以a+2b的最小值是4．正確；
③∵a，b，c＞0，∴a+c＞0，a+b＞0，∵a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2$\sqrt{（a+c）（a+b）}$=4，∴2a+b+c的最小值為4，不正確；
④若a²+b²+c²=4，則4=a²+$\frac{5}{7}$b²+$\frac{2}{7}$b²+c²≥2$\sqrt{\frac{5}{7}}$ab+2$\sqrt{\frac{2}{7}}$bc，∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc≤2$\sqrt{7}$，∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc的最大值是2$\sqrt{7}$，正確
綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．