Question

12．已知a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ln2x-ax-b只有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^}$取得最小值時(shí)a的值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{2}{e}$
• C． $\frac{2\sqrt{e}}{e}$
• D． $\frac{\sqrt{e}}{e}$

Answer 1

分析 當(dāng)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，y=ax+b（a＞0）與y=ln2x相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程得出a，b的關(guān)系，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：令f（x）=0得ln2x=ax+b，
∵f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，且a＞0，
∴y=ax+b與y=ln2x相切．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\\{ln2{x}_{0}=a{x}_{0}+b}\end{array}\right.$，∴$\frac{2}{a}={e}^{b+1}$．
∴$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^}$=e^b+1+$\frac{1}{{e}^}$=e^b+1+$\frac{e}{{e}^{b+1}}$≥2$\sqrt{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)e^b+1=$\frac{e}{{e}^{b+1}}$即e^b+1=$\sqrt{e}$時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)$\frac{2}{a}$$+\frac{1}{{e}^}$取得最小值時(shí)，a=$\frac{2}{{e}^{b+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{e}}$=$\frac{2\sqrt{e}}{e}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．