Question

1．函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$-log₂（x+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，使用換元法及根與系數(shù)的關(guān)系判斷f（x）的極值點(diǎn)和極值的范圍，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理得出答案．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{（x+1）ln2}$=$\frac{（x+1）ln2-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}（x+1）ln2}$．
令f′（x）=0得xln2-2$\sqrt{x}$+ln2=0，
令$\sqrt{x}$=t（t≥0），則t²ln2-2t+ln2=0，
∵△=4-4ln²2＞0，∴方程t²ln2-2t+ln2=0有兩個(gè)根，
不妨設(shè)兩根為t₁，t₂，且t₁＜t₂，則t₁+t₂=$\frac{2}{ln2}$＞0，t₁t₂=1，
∴0＜t₁＜1＜t₂，
∴方程xln2-2$\sqrt{x}$+ln2=0存在兩根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂．
∴當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x₁）＞f（1）=0，f（x₂）＜f（1）=0，又f（0）=0，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
∴f（x）共有三個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．