Question

20．已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）（n∈N^*）的值；
（2）數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+，+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），（n∈N^*）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由關(guān)系式得到相應(yīng)的值．
（2）由數(shù)列的性質(zhì)，用倒序相加法，得到通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，有f（$\frac{1}{2}$）+f（1-$\frac{1}{2}$）=2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，
令x=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
有f（$\frac{1}{n}$）+f（1-$\frac{1}{n}$）=2，
∴f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）=2．
（2）證明：f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
則令x=$\frac{k}{n}$時(shí)，有f（$\frac{k}{n}$）+f（$\frac{n-k}{n}$）=2．
a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+K+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）
a_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+K+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）+f（0）
∴2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+K+[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]+[f（1）+f（0）]
∴2a_n=2（n+1），（n∈N^*）
∴a_n=n+1，（n∈N^*）
∴a_n+1-a_n=（n+2）-（n+1）=1，（n∈N^*）
∴{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查由關(guān)系式得到規(guī)律運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相加得到答案．