Question

已知x，y滿足

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥-1

．
（1）求z=x-2y的最大值和最小值；
（2）求μ=x²+y²-4x-8y+20的最小值．

Answer 1

分析：作出不等式組表示的可行域
（1）目標(biāo)函數(shù)z=x-2y變?yōu)?span id="rdflx9r" class="MathJye">y=

1

2

x-

z

2

，截距為-

z

2

，結(jié)合圖形可求z的最小值和最大值
（2）μ=x²+y²-4x-8y+20變?yōu)棣?（x-2）²+（y-4）²，μ表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（2，4）兩點(diǎn)間距離的平方，結(jié)合圖形可求

解答：解：作出不等式組

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥-1

表示的可行域如圖所示：
（1）目標(biāo)函數(shù)z=x-2y變?yōu)?span id="lhfnzlp" class="MathJye">y=

1

2

x-

z

2

，
它表示斜率為

1

2

，截距為-

z

2

的直線，
當(dāng)直線y=

1

2

x平行移動到點(diǎn)A時(shí)，截距-

z

2

最小，
此時(shí)B（2，-1），z_max=4；
當(dāng)直線y=

1

2

x平行移動到點(diǎn)B時(shí)，截距-

z

2

最大，此時(shí)A（0，1），z_min=-2；
（2）μ=x²+y²-4x-8y+20變?yōu)棣?（x-2）²+（y-4）²，μ表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（2，4）兩點(diǎn)間距離的平方，
由圖可知，μ_min=13

點(diǎn)評：本題主要考查了利用線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義及兩點(diǎn)間的距離公式的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用