Question

20．已知直線l與拋物線y²=x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若y₁y₂=-1，
（1）求證：直線l過定點M，并求點M的坐際；
（2）求證：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1 ） 設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，0），直線l方程為 x=my+x，代入y²=x得y²-my-x=0 可證得M點的坐標(biāo)為（1，0）．
（2）根據(jù)y₁y₂=-1結(jié)合向量的坐標(biāo)運算得出OA⊥OB．
（3）直線AB過點（1，0），OA⊥OB，當(dāng)直線AB過（1，0）且垂直于x軸時，△AOB的面積的取最小值．由此能求出結(jié)果．

解答 （1 ） 證明：設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，0），直線l方程為 x=my+x，代入y²=x得
y²-my-x=0        ①，
∵y₁、y₂是此方程的兩根，
∴x=-y₁y₂=1，即M點的坐標(biāo)為（1，0）．
（2）證明：∵y₁y₂=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴OA⊥OB．
（3）解：由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x=1，
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{m}^{2}+4}$≥1，
∴當(dāng)m=0時，△AOB的面積取最小值1．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運用．