Question

6．設(shè)P為橢圓弧$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥0，y≥0）上的一動(dòng)點(diǎn)，又已知定點(diǎn)A（10，6），以P，A為矩形對(duì)角線的兩端點(diǎn)，矩形的邊平行于坐標(biāo)軸，求此矩形的面積的最值．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（5cosα，3sinα），0≤α≤$\frac{π}{2}$，由題意可得矩形的邊長(zhǎng)為10-5cosα，6-3sinα，面積為S=（10-5cosα）（6-3sinα），求得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，可得面積的最值．

解答 解：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（5cosα，3sinα），0≤α≤$\frac{π}{2}$，
由題意可得矩形的邊長(zhǎng)為10-5cosα，6-3sinα，
面積為S=（10-5cosα）（6-3sinα）
=15（2-cosα）（2-sinα），
S′=15[sinα（2-sinα）-cosα（2-cosα）]
=15（sinα-cosα）（2-sinα-cosα），
由于2-sinα-cosα=2-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＞0恒成立，
即有當(dāng)0$≤α≤\frac{π}{4}$時(shí)，S′≤0，S在[0，$\frac{π}{4}$]遞減，
當(dāng)$\frac{π}{4}$＜α≤$\frac{π}{2}$時(shí)，S′＞0，S在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]遞增．
則有當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，取得最小值，且為$\frac{135}{2}$-30$\sqrt{2}$；
α=0時(shí)，S=30；α=$\frac{π}{2}$時(shí)，S=30，
則矩形的面積的最小值為$\frac{135}{2}$-30$\sqrt{2}$，最大值30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．