Question

9．若正數x，y滿足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=1，則$\frac{1}{x-1}+\frac{3}{y-1}$的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正數x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，可得x-1=$\frac{1}{y-1}$．（y＞1），代入利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵正數x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{y}$=$\frac{y-1}{y}$，
∴$x=\frac{y}{y-1}$（y＞1），∴x-1=$\frac{1}{y-1}$（x＞1）．
則$\frac{1}{x-1}$+$\frac{3}{y-1}$=（y-1）+$\frac{3}{y-1}$≥2$\sqrt{（y-1）•\frac{3}{y-1}}$=2$\sqrt{3}$，當且僅當y-1=$\frac{3}{y-1}$，即y-1=$\sqrt{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{x-1}+\frac{3}{y-1}$的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$

點評 本題主要考查最值的求解，根據條件利用消元法轉化為以y為變量的函數，利用基本不等式的性質進行求解即可．