Question

設函數(shù)f（x）=mlnx+

1

x

-x，g（x）=

1

m

lnx．
（1）當x≥1時，總有f（x）≤0，求m的取值范圍；
（2）當m∈[3，+∞）時，曲線F（x）=f（x）+g（x）上總存在相異兩點A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），使得曲線F（x）在點A、B處的切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)和單調性之間的關系即可m的取值范圍；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合基本不等式的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=

m

x

-

1

x2

-1=-

1

x2

(x2-mx+1)，
令h（x）=x²-mx+1，（x≥1）
當m≤2時，h（x）≥0，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)f（x）≤f（1）=0，成立；
當m＞2時，h（x）=0有兩根，不妨設x₁＜x₂，
∵h（1）=2-m＜0，∴x₁＜1＜x₂，
∴由f′（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，
當x∈[1，x₂）時，h（x）=x²-mx+1＜0，此時f′（x）＞0，
∴當m＞2時，當x∈[1，+∞），f（x）＞f（1）=0，不滿足條件，
綜上m的取值范圍；是（-∞，2]．
（2）由題意可得F′（x₁）=F′（x₂），x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
即

m+ 1 m

x1

-

1

x12

-1=

m+ 1 m

x2

-

1

x22

-1，
∴x₁+x₂=（m+

1

m

）x₁x₂，
∵x₁≠x₂，
由基本不等式可得x₁+x₂=（m+

1

m

）x₁x₂＜（

x1+x2

2

）²恒成立，
即x₁+x₂＞

4

m+ 1 m

，在m∈[3，+∞）時恒成立，
∵m+

1

m

在m∈[3，+∞）上是增函數(shù)，
∴m+

1

m

≥3+

1

3

=

10

3

，
∴

4

m+ 1 m

≤

4

10 3

=

6

5

，
∴x₁+x₂＞

6

5

，
即x₁+x₂的取值范圍是（

6

5

，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，利用函數(shù)單調性，切線斜率和導數(shù)的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．