Question

已知等差數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=3b_n-λ•2

an

3

，（λ∈R），若數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的函數(shù)特性

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題目給出的已知條件b₂+S₂=12，S₂=b₂q，列關(guān)于等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比的二元方程組，求出等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比，則a_n與b_n可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n與b_n代入c_n=3b_n-λ•2

an

3

（λ∈R），整理后把c_n+1＞c_n轉(zhuǎn)化為含有λ和n的表達式，分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，從而求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴q+3+a₂=12，3+a₂=q²，
消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a₂=q²-3=6，則d=a₂-a₁=6-3=3，
從而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，b_n=3^n-1，∴c_n=3b_n-λ•2

an

3

=3ⁿ-λ•2ⁿ．
∵c_n+1＞c_n對任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ對任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•(

3

2

)n對任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2•(

3

2

)n在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y_min=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范圍為（-∞，3）．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了利用分離變量法求參數(shù)的范圍問題，借助于函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值是解答此題的關(guān)鍵，此題是中檔題．