Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸與短軸之和為2

2

+2，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x+2y+

5

=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

2a+2b=2 2 +2 b= |5| 1+4

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)AB的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長公式，結(jié)合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸與短軸之和為2

2

+2，
以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x+2y+

5

=0相切，
∴

2a+2b=2 2 +2 b= |5| 1+4

，解得a=

2

，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)AB的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
△=64k⁴+4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，
y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵點P在橢圓上，
∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2•

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴|

AB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂}＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，∵16k²=t²（1+2k²），
∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，t2∈(

8

3

，4)，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴實數(shù)t的取值范圍為（-2，-

2 6

3

）∪（

2 6

3

，2）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長公式的合理運用．