Question

20．某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y（單位：萬元）隨年產(chǎn)值x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%．
（1）若某企業(yè)產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金，試分析函數(shù)y=lgx+kx+5（k為常數(shù)）是否為符合政府要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；
（2）若采用函數(shù)f（x）=$\frac{15x-a}{x+8}$作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公司要選擇的函數(shù)模型所要滿足的條件，逐一分析，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)獎金y（單位：萬元）隨年產(chǎn)值x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%，確定a的范圍，即可確定最小的正整數(shù)a的值．

解答 解：（1）對于函數(shù)模型y=lgx+kx+5 （ k 為常數(shù) ），
x=100時，y=9，代入解得k=$\frac{1}{50}$，
所以y=lgx+$\frac{x}{50}$+5．
當(dāng)x∈[50，500]時，y=lgx+$\frac{x}{50}$+5是增函數(shù)，但x=50時，f（50）=lg50+6＞7.5，即獎金不超過年產(chǎn)值的15%不成立，故該函數(shù)模型不符合要求；
（2）對于函數(shù)模型f（x）=$\frac{15x-a}{x+8}$=15-$\frac{120+a}{x+8}$
a為正整數(shù)，函數(shù)在[50，500]遞增； f（x）_min=f（50）≥7，解得a≤344；
要使f（x）≤0.15x對x∈[50，500]恒成立，即a≥-0.15x²+13.8x對x∈[50，500]恒成立，
所以a≥315．
綜上所述，315≤a≤344，
所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315．

點評 本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時，確定函數(shù)關(guān)系實質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．