Question

15．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，$DM=3\sqrt{2}$．
（1）求證：OD⊥面ABC；
（2）求點(diǎn)M到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意給出的條件得出OD⊥AC．OD⊥OM，運(yùn)用直線平面的垂直判定定理可證明．
（2）V_M-ABD=V_D-MAB，運(yùn)用等積法求解距離問(wèn)題．

解答 證明：（1）由題意，OM=OD=3，
∵DM=3$\sqrt{2}$，
∴∠DOM=90°，OD⊥OM，
又∵菱形ABCD，
∴OD⊥AC．                                
∵OM∩AC=O，
∴OD⊥平面ABC    
（2）由（1）知OD=3為三棱錐D-ABM的高．     

△ABM的面積為S_△ABM=$\frac{1}{2}×BA×BM$×sin120°=$\frac{1}{2}×6×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
又 AB=AD=6，BD=3$\sqrt{2}$  所以S_△ABD=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{14}}{2}$=$\frac{9\sqrt{7}}{2}$，V_M-ABD=V_D-MAB，
$\frac{1}{3}×$$\frac{9\sqrt{7}}{2}$•d=$\frac{1}{3}×$$\frac{9\sqrt{3}}{2}$×3，
d=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間直線平面垂直問(wèn)題，利用等積法求解空間距離，考查了學(xué)生的空間想象能力，計(jì)算能力．