Question

17．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，若f₁（x）=f′（x），f_n+1（x）=f′_n（x）（n∈N⁺），則f₂₀₁₆（$\frac{π}{3}$）=（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f_n+4（x）=f_n（x）．n∈N，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可得出

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx，
∴f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
即f_n（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f₂₀₁₆（x）=f_504×4（x）=f（x）=sinx+cosx，
則f₂₀₁₆（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．