Question

9．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$
（1）求cosα的值；
（2）求sin（2α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）令t=$α-\frac{π}{3}$，由已知可求范圍t∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），從而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cost的值，由α=t+$\frac{π}{3}$，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可化簡求值．
（2）利用角的關(guān)系，2α-$\frac{π}{6}$=2（t+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$=2t+$\frac{π}{2}$，根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可化簡求值．

解答 （本題滿分14分）
解：令t=$α-\frac{π}{3}$，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），則t∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
又∵sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$即sint=$\frac{5}{13}$，
則cost=$\sqrt{1-si{n}^{2}t}$=$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=$\frac{12}{13}$． …（2分）
（1）cosα=cos（t+$\frac{π}{3}$）  …（4分）
=costcos$\frac{π}{3}$-sintsin$\frac{π}{3}$    …（6分）
=$\frac{12}{13}×\frac{1}{2}-\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$；  …（7分）
（2）sin（2α-$\frac{π}{6}$）=sin[2（t+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2t+$\frac{π}{2}$） …（10分）
=cos2t=cos²t-sin²t  …（12分）
=（$\frac{12}{13}$）²-（$\frac{5}{13}$）²
=$\frac{119}{169}$．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．