Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*），{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₄=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{a_n}-\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）S_n=2a_n-1，n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1，∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=2a₁-1，∴a₁=1，
∴a_n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，
b₁=a₁=1，b₄=a₃=4，∴公差=$\frac{4-1}{3}$=1．
b_n=1+（n-1）=n．
（2）${c_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}={2^{1-n}}-\frac{2}{{n（{n+1}）}}={2^{1-n}}-2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-2（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2}{n+1}-{2^{1-n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．