Question

3．已知圓C₁：（x+2）²+（y-2）²=4和圓C₂：（x+1）²+（y-4）²=4．
（1）判斷兩圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若直線l與圓C₁，C₂都相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算出圓心距并比較其與|r₁-r₂|、r₁+r₂的大小關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系．（2）設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求解直線l的方程．

解答 解：（1）相交，
因?yàn)椋簣AC₁：（x+2）²+（y-2）²=4
∴圓心C₁（-2，2），半徑r₁=2，圓C₂：（x+1）²+（y-4）²=4的圓心C₂（-1，4），半徑r₂=2，
∵|r₁-r₂|=0，r₁+r₂=4，圓心距C₁C₂=$\sqrt{（{-1+2）}^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|r₁-r₂|≤C₁C₂≤r₁+r₂，得兩圓的位置關(guān)系是相交；
（2）直線l與圓C₁，C₂都相切，設(shè)切線方程為：y=kx+b，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|-2k-2+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2}\\{\frac{|-k-4+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=6$±2\sqrt{5}$，
所求切線方程為：y=2x+6$±2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出兩圓的一般式方程，求兩圓的位置關(guān)系并求它們的公切線方程，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．