【題目】已知函數(shù)(其中),(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對任意,總存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1), 算出m值,然后求出的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)因為對任意,總存在使得,
即成立,分別求與的最值即可.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域為, ,
在處的切線斜率為,由,∴,
∴, ,令,得,當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, , 單調(diào)遞增.從而的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng)時, 有極小值, 沒有極大值;
(2)由, ,當(dāng)時, , 單調(diào)遞增,故有最小值,
因為對任意,總存在使得,
即成立,所以對任意,都有,
即,
也即成立,從而對任意,都有成立,
構(gòu)造函數(shù) ,則,令,得,當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;當(dāng)時, , 單調(diào)遞減,∴的最大值為,∴,綜上,實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且函數(shù)是偶函數(shù),設(shè)
(1)求的解析式;
(2)若不等式≥0在區(qū)間(1,e2]上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若方程有三個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知三棱柱中,三個側(cè)面均為矩形,底面為等腰直角三角形, ,點為棱的中點,點在棱上運動.
(1)求證 ;
(2)當(dāng)點運動到某一位置時,恰好使二面角的平面角的余弦值為,求點到平面的距離;
(3)在(2)的條件下,試確定線段上是否存在一點,使得平面?若存在,確定其位置;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),短軸的兩個端點分別為B1,B2
(1)若△F1B1B2為等邊三角形,求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的短軸長為2,過點F2的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且,求直線l的方程.
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【題目】數(shù)列的各項均為正數(shù),且的前項和是.
(1)若是遞增數(shù)列,求的取值范圍;
(2)若,且對任意,都有,證明: .
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【題目】在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)天,每天新增疑似病例不超過人”.過去日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下,則一定符合該標(biāo)志的是( )
甲地:總體平均數(shù),且中位數(shù)為;
乙地:總體平均數(shù)為,且標(biāo)準(zhǔn)差;
丙地:總體平均數(shù),且極差;
丁地:眾數(shù)為,且極差.
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)試探究函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點,若存在,請指出有幾個零點;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若,且在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè),函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅱ)若對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,求的取值范圍.
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【題目】某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時看作銷量為50瓶).
(1)設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時,當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機變量X,批發(fā)一小箱時,當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機變量Y,求X和Y的分布列;
(2)從早餐店的收益角度和利用所學(xué)的知識作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)
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