Question

4．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，-8），（1，-5），（3，7）三點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的零點(diǎn)；
（3）若x∈[t，t+2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求f（x）的解析式；
（2）令f（x）=0，求f（x）的零點(diǎn)；
（3）若x∈[t，t+2]，分類討論求f（x）的最小值．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{a+b+c=-5}\\{9a+3b+c=7}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2，c=-8，
∴f（x）=x²+2x-8．
（2）令f（x）=0得x=2或x=-4，
∴零點(diǎn)是2，-4．
（3）f（x）=（x+1）²-9，
t+2≤-1，即t≤-3時(shí)，函數(shù)在[t，t+2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（t+2）=（t+3）²-9；
t＜-1＜t+2，即-3＜t＜-1時(shí)，函數(shù)在[t，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-1）=-9；
t≥-1時(shí)，函數(shù)在[t，t+2]上單調(diào)遞減增，f（x）_min=f（t）=（t+1）²-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的最小值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．