Question

16．已知球O的直徑長為12，當(dāng)它的內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí)，該四棱錐的底面邊長為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 先設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，得到x與a，R之間的關(guān)系，又正四棱錐的高為h=R+x，從而得出正四棱錐體積關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求出這個(gè)正四棱錐體積的最大值即可．

解答 解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，
則：x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=36，
而正四棱錐的高為h=6+x，
故正四棱錐體積為：
V（x）=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$（72-2x²）（6+x）=$\frac{1}{3}$（12-2x）（6+x）（6+x）
≤$\frac{1}{3}$×（$\frac{12-2x+6+x+6+x}{3}$）³=$\frac{512}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，
那么正四棱錐的底面邊長為8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基本知識(shí)，考查了空間想象力，屬于中檔題．